Question

如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，AE=AC，DE交AB于点F．
（1）求证：∠PFD=∠OCP；
（2）求证：PF•PO=PB•PA．

Answer

（1）由题中条件：“AE=AC”，结合同盟弧所对的圆心角是圆周角的两倍得∠CDE=∠AOC，再根据三角形的外角定理即可得到结论；
（2）欲证乘积式PF•PO=PB•PA成立，化成比例式后，只要证明两个三角形相似即可．
【解析】

（1）证明：∵AE=AC，∠CDE=∠AOC，（2分）
又∠CDE=∠P+∠PFD，∠AOC=∠P+∠OCP，（4分）
∴∠PFD=∠OCP．（5分）
（2）【解析】
在△PDF与△POC中，∠P=∠P，∠PFD=∠OCP，
故△PDF∽△POC，（6分）
∴，∴PF•PO=PD•PC，（8分）
∵PD•PC=PB•PA，
∴PF•PO=PB•PA．（10分）