Question

如图，已知平面α、β交于直线l，AB、CD分别在平面α，β内，且与l分别交于B，D两点．若∠ABD=∠CDB，试问AB，CD能否平行？并说明理由．

Answer

由图可知直线AB与CD无交点，若AB与CD平行，则易得CD与平面α平行，AB与平面β平行，由线面平行的性质我们也易得AB，CD与平面α与平面β的交线平行，这与已知相矛盾，故直线AB，CD不能平行，我们可以用反证法证明结论．
证明：直线AB，CD不能平行．证明如下：
若AB∥CD，则AB∥CD共面，记这个平面为γ．
∴AB，CD⊂γ．
∴AB⊂α，D∈γ．
由题知，AB⊂α，D∈α，且D∉AB，
根据过一条直线及这条直线外一点，
有且仅有一个平面，α与γ重合．
同理，β与γ重合．
∴α与β重合，这与题设矛盾．
∴AB，CD不能平行．