Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的中，求证：B₁D被平面A₁BC₁分成1：2的两段．

Answer

解决此题应该先找出直线B1D与平面A1BC1的交点，把直线B1D放到平面BDD1B1中，则交点应该在平面BDD1B1与平面A1BC1的交线（即图中BM）上，然后在平行四边形BDD1B1中解决比例关系．
证明：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
连接B1D1，A1C1，BD，AC．
设B1D1∩A1C1=M，BD∩AC=N．
∴M，N分别是B1D1，AC的中点．
连接BM，D1N．
∵BB1∥DD1，且BB1=DD1，
∴四边形BDD1B1是平行四边形．
在平面BDD1B1中，设B1D∩BM=O，B1D∩D1N=O1，
在平行四边形BDD1B1中，
∵D1M∥NB，且D1M=NB，
∴四边形BND1M是平行四边形．
∴BM∥ND1，即OM∥O1D1，
∴O是BO1的中点，即O1O=OB1．
同理，OO1=O1D．
∴O1O=OB1=O1D．
综上，OB1：OD1=1：2，
即B1D被平面A1BC1分成1：2的两段