Question

已知函数f （x）=，x∈[1，+∞）．
（1）当a=4时，求f（x）的最小值；
（2）当a=时，求f（x）的最小值；
（3）若a为正常数，求f（x）的最小值．

Answer

（1）把f（x）用分离常数法分离，再利用函数的单调性来求f（x）的最小值．
（2）把f（x）用分离常数法分离，再利用函数的单调性来求f（x）的最小值．
（3）先用分离常数法把函数分离，在分和1的大小并利用函数的单调性来求f（x）的最小值．
【解析】
（1）当a=4时，f（x）=x++2，易知，f（x）在[1，2]上是减函数，在（2，+∞）上是增函数．
∴f（x）min=f（2）=6．
（2）当a=时，f（x）=x++2．
易知，f（x）在[1，+∞）上为增函数．
∴f（x）min=f（1）=．
（3）函数f（x）=x++2在（0，]上是减函数，在[，+∞）上是增函数．
若＞1，即a＞1时，f（x）在区间[1，+∞）上先减后增，f（x）min=f（）=2+2．
若≤1，即0＜a≤1时，
f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，
∴f（x）min=f（1）=a+3．