Question

讨论函数f（x）=x+（a＞0）的单调性．

Answer

根据函数的解析式，我们易判断出函数的定义域和奇偶性，然后利用作差法，我们先讨论f（x）在（0，+∞）上的单调性．再根据奇函数在对称区间上单调性相同，易判断出函数f（x）=x+（a＞0）的单调性．
【解析】
f（x）=x+（a＞0），
∵定义域为{x|x∈R，且x≠0}且
f（-x）=-x+=-（x+）=-f（x）．
∴f（x）为奇函数，
所以先讨论f（x）在（0，+∞）上的单调性．
设x1＞x2＞0，
则f（x1）-f（x2）=x1+-x2-=（x1-x2）（1-），
∵当0＜x2＜x1≤时，恒有＞1．
则f（x1）-f（x2）＜0，故f（x）在（0，]上是减函数．
当x1＞x2≥时，恒有0＜＜1，
则f（x1）-f（x2）＞0，故f（x）在[，+∞）上是增函数．
∵f（x）是奇函数，
∴f（x）在（-∞，-]上为增函数；
f（x）在[-，0）上为减函数．
综上知f（x）在（-∞，-]，[，+∞）上为增函数；f（x）在[-，0），（0，]上为减函数．