Question

已知函数f（x）=x³-3x，x∈R，曲线y=f（x）在点P（x，f（x））处的切线方程为y=g（x），设h（x）=f（x）-g（x）．
（Ⅰ）若x=2，求函数h（x）的解析式；
（Ⅱ）若x∈R，讨论函数h（x）的单调性．

Answer

（I）因为是高次函数，所以用导数求得函数的切线的方程，即得g（x），从而得到h（x）
（II）先整理得到h（x）=x3-3x2x+2x3，再求导，由导数的正负来确定其单调性，要注意x的影响．
【解析】
（I）f′（x）=3x2-3，f（2）=2，f′（2）=9
∴切线方程为：y-2=9（x-2）
∴g（x）=9x-16
∴h（x）=x3-12x+16
（II）设曲线y=f（x）在点P（x，f（x））处的切线方程为：y=（3x-3）x-2x3
∴g（x）=（3x-3）x-2x3
∴h（x）=x3-3x2x+2x3
∴h′（x）=3x2-3x2=3（x-x）（x+x）
令h′（x）=3x2-3x2=3（x-x）（x+x）＜0
①当x＞0时，h（x）在（-∞，-x]是增函数，在[-x，，x]是减函数，在[x，，+∞）是增函数；
②当x＜0时，h（x）在（-∞，-x]是增函数，在[-x，，x]是减函数，在[x，，+∞）是增函数；
③当x=0时，h（x）在（-∞，+∞）是增函数；
综上：①当x＞0时，h（x）的增区间是：（-∞，-x]，[x，，+∞），减区间是：[-x，，x]；
②当x＜0时，h（x）的增区间是：（-∞，x]，[-x，，+∞），减区间是：[x，，-x]；
③当x=0时，h（x）的增区间是：（-∞，+∞）．