Question

在斜三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，侧面BB₁C₁C⊥底面ABC．
（Ⅰ）若D是BC的中点，求证：AD⊥CC₁；
（Ⅱ）过侧面BB₁C₁C的对角线BC₁的平面交侧棱于M，若AM=MA₁，求证：截面MBC₁⊥侧面BB₁C₁C；
（Ⅲ） AM=MA₁是截面MBC₁⊥平面BB₁C₁C的充要条件吗？请你叙述判断理由．

Answer

（Ⅰ）2个平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面，可证AD⊥BB1C1C．
（Ⅱ）延长B1A1与BM交于N，连接C1N，可证C1N⊥C1B1，由截面NB1C1⊥侧面BB1C1C，可得 C1N⊥侧面BB1C1C，
进而证明截面MBC1⊥侧面BB1C1C．
（Ⅲ）结论是肯定的，充分性已由（2）证明．必要性的证明：过M作ME⊥BC1于E，可证ME⊥侧面BB1C1C，
AM∥DE，E是BC1的中点，AM=DE=CC1=AA1．故必要性成立．
【解析】
（Ⅰ）证明：∵AB=AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC．∵底面ABC⊥平面BB1C1C，
∴AD⊥侧面BB1C1C．∴AD⊥CC1．

（Ⅱ）【解析】
延长B1A1与BM交于N，连接C1N．
∵AM=MA1，∴NA1=A1B1．∵A1B1=A1C1，
∴A1C1=A1N=A1B1．∴C1N⊥C1B1．
∵截面NB1C1⊥侧面BB1C1C，∴C1N⊥侧面BB1C1C．
∴截面C1NB⊥侧面BB1C1C．∴截面MBC1⊥侧面BB1C1C．

（Ⅲ）【解析】
结论是肯定的，充分性已由（2）证明，
下面证必要性：过M作ME⊥BC1于E，∵截面MBC1⊥侧面BB1C1C，
∴ME⊥侧面BB1C1C．    又∵AD⊥侧面BB1C1C，
∴ME∥AD．
∴M，E，A，D共面．
∵AM∥侧面BB1C1C，∴AM∥DE．
∵CC1∥AM，∴DE∥CC1．
∵D是BC的中点，
∴E是BC1的中点．
∴AM=DE=CC1=AA1．
∴AM=MA1．