Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，S_n是数列{a_n}的前n项和，且对任意n∈N^*，有a_n+1=kS_n+1（k为常数）．
（I）当k=2时，求a₂，a₃的值；
（II）试判断数列{a_n}是否为等比数列？请说明理由．

Answer

（I）在递推关系中，令n取1，2，利用和的定义将和用项表示，求出项．
（II）利用数列和的定义，通过仿写作差将和与项的关系转化为项与项间的递推关系，利用等比数列的定义判断出数列an的情况
【解析】
（I）当k=2时，an+1=2Sn+1．
令n=1得a2=2S1+1，又a1=S1=1，得a2=3；
令n=2得a3=2S2+1=2（a1+a2）+1=9，∴a3=9．
∴a2=3，a3=9．
（II）由an+1=kSn+1，得an=kSn-1+1，
两式相减，得an+1-an=（kSn+1）-（kSn-1+1）=k（Sn-Sn-1）=kan（n≥2），
即an+1=（k+1）an（n≥2），
且，故an+1=（k+1）an．
k=-1时，此时，{an}不是等比数列；
当k=-1时，{an}不是等比数列；
当k≠-1时，{an}是等比数列