Question

如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PCB是⊙O的割线，交⊙O于C、B两点，半径OD⊥BC，垂足为E，AD交PB于点F，BF=PF．
（1）求证：PA=PF；
（2）若CF=1，求切线PA的长．

Answer

（1）可通过证明角相等来得出边相等，本题中需要证明的相等角是∠PFA=∠PAF，我们看这两个角和哪些角有关系，∠PFA=∠DFE，∠D+∠DFE=∠D+∠DFA=90°，再看∠PAF，根据切线的性质可得出，∠PAF+∠OAD=90°，那么只要证明∠ODA=∠OAD，就能得出∠PFA=∠PAF的结论，而∠ODA=∠OAD正好可以用等边对等角来得出，因此便能证明出PA=PF；
（2）根据切割线定理我们可知：PA2=PC•PB，而PC=PF-1，PB=2PF，根据BF=PF=PA，那么将相等的线段进行置换即可求出PA的长．
【解析】
（1）证明：∵PA是圆O的切线，
∴∠OAD+∠PAF=90°…①
∵OD=OA，
∴∠OAD=∠ODA…②
∵OD⊥BC，
∴∠ODA+∠DFE=90°，而∠DFE=∠PFA．
∴∠PFA+∠ODA=90°…③
根据①②③可得：∠PFA=∠PAF，
∴PA=PF．

（2）∵PA是圆O的切线，
∴PA2=PC•PB．
∵PC=PF-CF=PA-1，PB=2PF=2PA，
∴PA2=（PA-1）•2PA．
∴PA=2．