Question

已知1≤x²+y²≤2，则x²+xy+y²的取值范围    ．

Answer

令x=asinθ，y=acosθ，t=x2+xy+y2，则有1≤x2+y2≤2，可得a的范围，进而化简t=x2+xy+y2可得t=（1+sin2θ）a2，
由三角函数的性质，可得1+sin2θ的范围，计算可得答案．
【解析】
令x=asinθ，y=acosθ，t=x2+xy+y2，
则有1≤x2+y2≤2，可得1≤a≤，
进而可得，t=x2+xy+y2=a2+a2sinθcosθ=（1+sin2θ）a2，
由三角函数的性质，可得≤（1+sin2θ）≤，
故≤t≤3，
故答案为[，3]．