Question

已知在数列{a_n}中，a₁=t，a₂=t²，其中t＞0，x=是函数f（x）=a_n-1x³-3[（t+1）a_n-a_n+1]x+1（n≥2）的一个极值点
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式
（Ⅱ）当t=2时，令，数列{b_n}前n项的和为S_n，求证：S_n
（Ⅲ）设，数列{c_n}前n项的和为T_n，求同时满足下列两个条件的t的值：
（1）
（2）对于任意的，均存在k∈N*，当n≥k时，T_n＞m．

Answer

（Ⅰ）利用x=是函数的一个极值点找到数列{an}的递推公式，再利用数列{an}的递推公式求出数列{an}的通项公式即可．
（Ⅱ）先利用（Ⅰ）的结论求出数列{bn}的通项公式，在利用裂项求和法求出数列{bn}前n项的和为Sn，就可证明结论．
（Ⅲ）先利用（Ⅱ）的结论得出t=2时符合要求，再对t≠2时分两种情况分别求t，看是否有符合要求的t即可．
【解析】
（Ⅰ）由题意得：f′（）=0即3an-1t-3[（t+1）an-an+1]=0
故an+1-an=t（an-an-1）（n≥2）
则当t≠1时，数列{an+1-an}是以t2-t为首项
t为公比的等比数列
∴an+1-an=（t2-t）tn-1
由an+1-an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）++（an-an-1）
=t+（t2-t）[1+t+t2++tn-2]
=t+（t2-t）•=tn
此式对t=1也成立
∴an=tn（n∈N*）（4分）
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ），
所以
故：Sn．
（Ⅲ）（1）当t=2时，由（Ⅱ）得，

取，当n≥k时，Tn＞m
（2）当t＜2时，，
所以，
取，
因为，不存在k，使得当n≥k时，Tn＞m
（3）当t＞2时，，，，
由（1）可知存在k∈N*，当n≥k时，
故存在k∈N*，当n≥k时，
综上，t=2