Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC，BC₁∩B₁C=E，F是AC的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面AB₁C₁；
（Ⅱ）设∠B₁AC₁=θ，且cosθ=，试在棱AA₁上找一点M，使得BM⊥平面AB₁C．

Answer

（Ⅰ）要证：EF∥平面AB1C1，只需证明EF∥AB1即可；
（Ⅱ）M为AA1的中点时，在矩形AA1B1B中，易证得BM⊥AB1，
再证明BM⊥AC，即得BM⊥平面AB1C．
【解析】
（Ⅰ）在△AB1C中，E，F分别是B1C和AC的中点，则EF∥AB1，而EF⊂平面AB1C1，AB1⊂平面AB1C1，
∴EF∥平面AB1C1．
（Ⅱ）设三棱柱的侧棱AA1=b，AB=AC=a，
由∠BAC=90°，可得BC=a，有题意可得AB1=AC1=，
在△AB1C1中，
，
∴b2=2a2，即b=a．
当M为AA1的中点时，在矩形AA1B1B中，易证得BM⊥AB1，
∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥AB，
∴AC⊥平面AA1B1B，BM⊂平面AA1B1B，
∴BM⊥AC，又AC∩AB1=A，∴BM⊥平面AB1C．