Question

已知函数，a_n=f（n）+f（n+1），则a₁+a₂+…+a₁₀₀=    ．

Answer

对通项an=f（n）+f（n+1）研究发现：当n为奇数时，an=n2-（n+1）2=-2n-1，所有的奇数项组成一个首项为-3，公差为-2，项数为50的等差数列；当n为偶数时an=-n2+（n+1）2=2n+1，故所有的偶数项组成一个首项为5，公差为2，项数为50的等差数列，将奇数项与偶数项分别求和，然后再相加求数列前100项的和．
【解析】
当n为奇数时，an=n2-（n+1）2=-2n-1，
当n为偶数时an=-n2+（n+1）2=2n+1，
故所有的奇数项组成一个首项为-3，公差为-2，项数为50的等差数列；
所有的偶数项组成一个首项为5，公差为2，项数为50的等差数列．
由等差数列的前n项和公式Sn=（a1-）×n+n2得S奇=（-3+1）×50-502=-350；
S偶=（5-1）×50+502=450
所以S100=S偶+S奇=450-350=100
故应填100