Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，若对于所有的自然数n，都有，证明{a_n}是等差数列．

Answer

本小题考查等差数列的证明方法，数学归纳法及推理论证能力．
等差数列的证明是数列的常见题型，本题可用两种方法：
一是用数学归纳法，适用于理科，因为只要能证明{an}的通项公式满足等差数列的通项公式an=a1+（n-1）d（n∈N），问题就可得证，这显然是与自然序号n有关的命题，故可以选择数学归纳法；
二是数列用定义证明，即证明an-an-1=m（常数），利用已知前n项和，首先利用an=sn-sn-1表示出an，然后可以计算an-an-1=m证明之，
证明：法一：
令d=a2-a1．
下面用数学归纳法证明an=a1+（n-1）d（n∈N）．
（1）当n=1时上述等式为恒等式a1=a1．
当n=2时，a1+（2-1）d=a1+（a2-a1）=a2，等式成立．
（2）假设当n=k（k≥2）时命题成立，ak=a1+（k-1）d．由题设，有
Sk=，Sk+1=，又Sk+1=Sk+ak+1
∴（k+1）
把ak=a1+（k-1）d代入上式，得
（k+1）（a1+ak+1）=2ka1+k（k-1）d+2ak+1．
整理得（k-1）ak+1=（k-1）a1+k（k-1）d．
∵k≥2，∴ak+1=a1+kd．即当n=k+1时等式成立．
由（1）和（2），等式对所有的自然数n成立，从而{an}是等差数列
法二：
当n≥2时，由题设，，．
所以an=Sn-Sn-1=-
同理有
an+1=-．
从而
an+1-an=-n（a1+an）+，
整理得an+1-an=an-an-1═a2-a1
从而{an}是等差数列．