Question

如图，已知A₁B₁C₁-ABC是正三棱柱，D是AC中点．
（1）证明AB₁∥平面DBC₁；
（2）假设AB₁⊥BC₁，BC=2，求线段AB₁在侧面B₁BCC₁上的射影长．

Answer

（1）由A1B1C1-ABC是正三棱柱，可知四边形B1BCC1是矩形，连接B1C，交BC1于E，则B1E=EC．连接DE，由三角形中位线定理得到DE∥AB1，再由线面平行的判定定理得到结论．
（2）先作AF⊥BC，垂足为F．由面ABC⊥面B1BCC1，可知AF⊥B1BCC1平面B1F，由身影定义，可得B1F是AB1在平面B1BCC1内的射影．然后在矩形B1BCC1中，由△B1BF∽△BCC1求解．
（1）证明：∵A1B1C1-ABC是正三棱柱，
∴四边形B1BCC1是矩形．连接B1C，交BC1于E，则B1E=EC．连接DE．
在△AB1C中，∵AD=DC，∴DE∥AB1，又AB1⊄平面DBC1．DE⊂平面DBC1
∴AB1∥DBC1．（2）【解析】
作AF⊥BC，垂足为F．
因为面ABC⊥面B1BCC1，所以AF⊥B1BCC1平面B1F．
连接B1F，则B1F是AB1在平面B1BCC1内的射影．
∵BC1⊥AB1，∴BC1⊥B1F．
∵四边形B1BCC1是矩形，∴∠B1BF=∠BCC1=90°；
∠FB1B=∠C1BC，∴△B1BF∽△BCC1．
∴
又F为正三角形ABC的BC边中点，因而B1B2=BF•BC=1×2=2，
于是B1F2=B1B2+BF2=3，∴B1F=．
即线段AB1在平面B1BCC1内射影长为