Question

设函数f（x）=ln（x+a）+2x²．
（1）若当x=-1时，f（x）取得极值，求a的值；
（2）在（1）的条件下，方程ln（x+a）+2x²-m=0恰好有三个零点，求m的取值范围；
（3）当0＜a＜1时，解不等式f（2x-1）＜lna．

Answer

（1）把-1代入导函数对应的方程即可．
（2）转化为两个函数有三个不同的交点即可，y=m须位于极大值和极小值之间．
（3）先把lna转化为f（0），在利用条件把变量转化到同一单调区间内，利用单调性解题即可．
【解析】
∵f（x）=ln（x+a）+2x2．∴f'（x）=+4x
（1）由f'（-1）=-4=0⇒a=
所以a的值为．

（2）由（1）得f'（x）=+4x=，又因为x+＞0，
所以f'（x）＞0⇒x＞-，f'（x）＜0⇒-x＜-1，
故f（x）的极大值为f（-）=，极小值为f（-1）=2+ln，
ln（x+a）+2x2-m=0恰好有三个零点须有2+ln＜m＜，
故m的取值范围是（2+ln，）．

（3）因为f'（x）=+4x=，
且f'（x）=0⇒x1=＞0，x2=＜-a，
故f（x）在（-a，0）上递减．又f（0）=lna．所以f（2x-1）＜lna⇒2x-1＞0⇒x＞
所以不等式f（2x-1）＜lna的解集是{x|x＞}．