Question

已知定义在R上的函数f（x）同时满足：
（1）f（x₁+x₂）+f（x₁-x₂）=2f（x₁）cos2x₂+4asin²x₂（x₁，x₂∈R，a为常数）；
（2）f（0）=f（）=1；
（3）当x∈[0，]时，|f（x）|≤2
求：（Ⅰ）函数f（x）的解析式；（Ⅱ）常数a的取值范围．

Answer

（Ⅰ）根据题中的关系式和已知的函数值，分别给x1和x2三组值，必须与0以及有关，列出三个方程构成一个方程组，对其进行化简变形，再利用倍角公式和两角和差的正弦（余弦）公式进行化简，求出函数的解析式；
（Ⅱ）由x的范围和正弦函数的性质求出sin（2x+）的范围，根据a与1的大小进行分类求解，去掉绝对值利用平方差公式进行化简求解，最后要把结果并在一起．
【解析】
（Ⅰ）在f（x1+x2）+f（x1-x2）=2f（x1）cos2x2+4asin2x2中，
分别令；；得
由①+②-③，得
2f（x）=2a+2cos2x-2cos（+2x）+4a（）-4a（）
=2a+2（cos2x+sin2x）-2a（cos2x+sin2x）
∴f（x）=a+（1-a）sin（2x+）
（Ⅱ）当x∈[0，]时，则≤2x≤，∴sin（2x+）∈[，1]．
∵|f（x）|≤2，
（1）当a＜1时，-2≤a+[（1-a）]≤f（x）≤a+（1-a）≤2．
即1-≤（1-）a≤2-，解得-≤a≤1，
故a的取值范围[-，1）．
（2）当a≥1时，-2≤a+（1-a）≤f（x）≤1．即-2-≤（1-）a≤1-，
解得1≤a≤4+3．
综上，满足条件a的取值范围[-，4+3]．