Question

已知直线l过坐标原点，抛物线C顶点在原点，焦点在x轴正半轴上．若点A（-1，0）和点B（0，8）关于l的对称点都在C上，求直线l和抛物线C的方程．

Answer

先设出抛物线的标准方程和直线l的方程，根据A'、B'分别是A、B关于l的对称点，进而可知A'A⊥l，进而可得直线A'A的方程，把两直线方程联立求得交点M的坐标，进而根据M为AA'的中点，求得A'点的坐标和B'的坐标，分别代入抛物线方程求得p的表达式，最后联立求得k，进而求得p，则直线和抛物线的方程可得．
【解析】
依题设抛物线C的方程可写为
y2=2px（p＞0），
且x轴和y轴不是所求直线，又l过原点，因而可设l的方程为
y=kx（k≠0）．①
设A'、B'分别是A、B关于l的对称点，因而A'A⊥l，直线A'A的方程为②
由①、②联立解得AA'与l的交点M的坐标为．
又M为AA'的中点，从而点A'的坐标为
xA'=，
yA'=．③
同理得点B'的坐标为
xB'=，yB'=．④
又A'、B'均在抛物线y2=2px（p＞0）上，由③得，由此知k≠±1，
即⑤
同理由④得．
即．
从而=，
整理得k2-k-1=0．
解得
但当时，由③知，
这与A'在抛物线y2=2px（p＞0）上矛盾，故舍去．
设，则直线l的方程为．
将代入⑤，求得．
所以直线方程为．
抛物线方程为．