Question

如图，已知A₁B₁C₁-ABC是正三棱柱，D是AC中点．（1）证明AB₁∥平面DBC₁；（2）假设AB₁⊥BC₁，求以BC₁为棱，DBC₁与CBC₁为面的二面角α的度数．

Answer

（1）欲证AB1∥平面DBC1，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证AB1与平面DBC1内一直线平行，根据等腰三角形可知DE∥AB1，又AB1∉平面DBC1，DE⊂平面DBC1，满足定理所需条件；
（2）作DF⊥BC，垂足为F，则DF⊥面B1BCC1，连接EF，则EF是ED在平面B1BCC1上的射影，根据二面角的平面角的定义可知∠DEF是二面角α的平面角，然后在三角形DEF中求出∠DEF即可．
（1）证明：
∵A1B1C1-ABC是正三棱柱，∴四边形B1BCC1是矩形．
连接B1C交BC1于E，则B1E=EC．连接DE．
在△AB1C中，∵AD=DC，∴DE∥AB1．
又AB1∉平面DBC1，DE⊂平面DBC1，∴AB1∥平面DBC1．

（2）【解析】
作DF⊥BC，垂足为F，
则DF⊥面B1BCC1，连接EF，
则EF是ED在平面B1BCC1上的射影．
∵AB1⊥BC1，
由（1）知AB1∥DE，∴DE⊥BC1，则BC1⊥EF，∴∠DEF是二面角α的平面角．
设AC=1，则DC=．∵△ABC是正三角形，∴在Rt△DCF中，
DF=DC•sinC=，CF=DC•cosC=．取BC中点G．∵EB=EC，∴EG⊥BC．
在Rt△BEF中，
EF2=BF•GF，又BF=BC-FC=，GF=，
∴EF2=•，即EF=．∴tan∠DEF=．∴∠DEF=45°．
故二面角α为45°．