Question

如图，已知过点D（-2，0）的直线l与椭圆+y²=1交于不同的两点A、B，点M是弦AB的中点
（Ⅰ）若=+，求点P的轨迹方程；
（Ⅱ）求||的取值范围

Answer

（Ⅰ）当直线与x轴平行时，求得点P的坐标；设出直线l的方程及A，B，M，P的坐标，椭圆方程联立消去x，根据判别式大于0求得m的范围，进而根据韦达定理表示出y=y1+y2和x=x1+x2，进而联立消去m，即可求得P点的轨迹方程．
（Ⅱ）先看当l∥x轴时，A，B分别是椭圆长轴的两个端点，则点M在原点O处，求得|MD|，|MA|进而求得||的值；再看与x轴不平行时，根据弦长公式求得|MD|和|MA|的表达式，进而求得||的表达式，根据m的范围确定||的取值范围，最后综合可得答案．
【解析】
（Ⅰ）①若直线l∥x轴，则点P为（0，0）；
②设直线l：x=my-2，
并设点A，B，M，P的坐标分别是A（x1，y1），B（x2，y2），M（x，y），P（x，y），
由消去x，得（m2+2）y2-4my+2=0，①
由直线l与椭圆有两个不同的交点，可得△=（-4m）2-8（m2+2）＞0，即8（m2-2）＞0，所以m2＞2
由=+及方程①，得y=y1+y2=，
x=x1+x2=（my1-2）+（my2-2）=-，
即
由于m≠0（否则，直线l与椭圆无公共点），
将上方程组两式相除得，m=-，代入到方程x=-，
得x=-，整理，得x2+2y2+4x=0（-2＜x＜0）
综上所述，点P的轨迹方程为x2+2y2+4x=0（-2＜x＜0）

（Ⅱ）①当l∥x轴时，A，B分别是椭圆长轴的两个端点，则点M在原点O处，
所以，|MD|=2，|MA|=，所以，=
②由方程①，得y==，
|MD|=|y-yD|=
|MA|=|=|y-y1|==|=
==
m2＞2，-∈（1，0），∈（0，1），∈[，+∞）