Question

过双曲线的右焦点F₂作垂直于实轴的弦PQ，F₁是左焦点，若∠PF₁Q=90°，则双曲线的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer

根据过双曲线的右焦点F2作垂直于实轴的弦PQ，得到P，Q，F2的横坐标都是c，且P和Q关于F点对称的，设出点P，Q的坐标，∠PF1Q=90°，根据•=0求得关于a，b，和c的一个方程，根据c2=a2+b2，消去b，得到关于a，c的一个方程，即可解得双曲线的离心率．
【解析】
由于PQ过F2，所以P，Q，F2的横坐标都是c，且由双曲线的对称性可知，P和Q关于F点对称的，也就是P和Q的纵坐标是相反数，
那么设P（c，y），Q（c，-y），而F1（-c，0）
那么=（2c，y），=（2c，-y）
∵∠PF1Q=90°，∴•=0，
即（2c，y）•（2c，-y）=0
∴4c2-y2=0，
由于P在双曲线上，所以P满足，
又因为=e2，
把上式变形，得y2=b2（e2-1）
代入4c2-y2=0，有4c2-b2（e2-1）=0
即4c2-（c2-a2）（e2-1）=0
同时除以a2，有4e2-（e2-1）（e2-1）=0
整理上式，有e4-6e2+1=0
解得e2=3±，∵e＞1
∴e2═3+=（1+）2
∴e=1+
故选B．