Question

如图，在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为棱A₁B₁和B₁C₁的中点．
（1）求二面角B₁-BF-E的大小．
（2）求点D到平面BEF的距离．
（3）能否在棱B₁B上找到一点M，使DM⊥面BEF？若能，请确定点M的位置；若不能，请说明理由．

Answer

（1）过B1作B1G⊥BF于G，连接EG，则由EB1⊥面B1BCC1，可知EG⊥BF．即∠B1GE是二面角B1-BF-E的平面角．解三角形B1GE即可得到二面角B1-BF-E的大小；
（2）连接B1D1与EF交于N，可得面BEF⊥面BB1D1D，且面BEF∩面BB1D1D=BN．过D作DH⊥BN于H，则DH⊥面BEF．即DH的长即为点D到面BEF的距离．根据△BDH∽△NBB1，结合相似三角形的性质，我们根据相似三角形对应边成比例，即可求出点D到平面BEF的距离．
（3）在平面BB1D1D中，延长DH交BB1于M，由（2），DH⊥面BEF，则DM⊥面BEF．然后根据△BDM∽△B1BN，结合相似三角形对应边长成比例，易得到结论．
【解析】
（1）过B1作B1G⊥BF于G，连接EG，
则由EB1⊥面B1BCC1，可知EG⊥BF．
∴∠B1GE是二面角B1-BF-E的平面角．
在Rt△BB1F中，B1B=a，B1F=，
∴BF==a，
B1G===a．
在Rt△B1GE中，B1E=，B1G=a，
∴tan∠B1GE===．
∴∠B1GE=arctan．
故二面角B1-BF-E的大小为arctan．
（2）连接B1D1与EF交于N，
则EF⊥B1D1．又BB1⊥EF，
∴EF⊥面BB1D1D．又EF⊂面BEF，
∴面BEF⊥面BB1D1D，且面BEF∩面BB1D1D=BN．
过D作DH⊥BN于H，则DH⊥面BEF．
∴DH的长即为点D到面BEF的距离．
在矩形BB1D1D中，
易证△BDH∽△NBB1，
∴=，DH===a．
故点D到面BEF的距离为a．
（3）在平面BB1D1D中，延长DH交BB1于M，由（2），DH⊥面BEF，
∴DM⊥面BEF．
由△BDM∽△B1BN，有=，
∴BM===．
则M为BB1的中点．
故在棱BB1上可找到点M，使DM⊥面BEF，此时M为BB1的中点．