Question

在边长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为AB与C₁D₁的中点．
（1）求证：四边形A₁ECF是菱形；
（2）求证：EF⊥平面A₁B₁C；
（3）求A₁B₁与平面A₁ECF所成角的正切值．

Answer

（1）取A1B1的中点G，连接C1G、GE．要证四边形A1ECF是菱形，只需证明A1E=A1F=CE=CF即可．
（2）要证EF⊥平面A1B1C，只需证明直线EF垂直平面A1B1C内的两条相交直线A1C、B1C即可；
（3）说明∠B1A1C就是A1B1与平面A1ECF所成的角．然后解三角形，求A1B1与平面A1ECF所成角的正切值．
（1）证明：取A1B1的中点G，连接C1G、GE．
∵A1G∥FC1且A1G=FC1，∴A1GC1F是平行四边形．
∴A1F∥C1G．同理C1G∥CE．∴A1F∥CE．
由勾股定理算得A1E=A1F=CE=CF=a，∴四边形A1ECF是菱形．
（2）证明：连接C1B，∵E、F分别为AB与C1D1的中点，
∴C1F=BE．又C1F∥BE，
∴C1FEB为平行四边形．∴C1B∥EF．而C1B⊥B1C，
∴EF⊥B1C．又四边形A1ECF是菱形，∴EF⊥A1C．∴EF⊥面A1B1C．
（3）【解析】
由（2）知，EF⊥平面A1B1C，又EF⊂平面A1ECF，
∴平面A1B1C⊥平面A1ECF．∴B1在平面A1ECF上的射影在线段A1C上．
∴∠B1A1C就是A1B1与平面A1ECF所成的角．
∵A1B1⊥B1C，在Rt△A1B1C中，tan∠B1A1C==．
∴A1B1与平面A1ECF所成角的正切值为．