Question

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，O为AC与BD的交点，M为DD₁的中点．
（1）求证：直线B₁O⊥平面MAC；
（2）求二面角B₁-MA-C的大小．

Answer

本题的两问是递进式的，第（1）问是为第（2）问作铺垫的．第（2）问中构造二面角的平面角的方法是典型的三垂线法．
（1）证明直线与平面垂直，关键要找到两条相交直线与之都垂直．有时候题目中没有现成的直线与直线垂直，需要我们先通过直线与平面垂直去转化一下，如欲证B1O⊥AC，可以先证明AC⊥平面BB1O
（2）二面角的度量关键在于找出它的平面角，构造平面角常用的方法就是三垂线法．
1）证明：∵BB1⊥平面ABCD，OB⊥AC，
∴B1O⊥AC．
连接MO、MB1，则MO=，B1O=，MB1=3．
∵MO2+B1O2=MB12，∴∠MOB1=90°．
∴B1O⊥MO．
∵MO∩AC=O，∴B1O⊥平面MAC．

（2）【解析】
作ON⊥AM于点N，连接B1N．
∵B1O⊥平面MAC，∴AM⊥平面B1ON．
∴B1N⊥AM．
∴∠B1NO就是二面角B1-MA-C的平面角．
∵AM=，CM=，∴AM=CM．
又O为AC的中点，∴OM⊥AC．则ON=OAsin∠MAO==．
在Rt△B1ON中，tan∠B1NO==，
∴∠B1NO=arctan，即所求二面角的大小为arctan．