Question

已知函数f（x）=5x-5x²，记函数f₁（x）=f（x），f₂（x）=f[f₁（x）]，f₃（x）=f[f₂（x）]，…，f_n（x）=f[f_n-1（x）]，…，考察区间A=（-∞，0），对任意实数x∈A，有f₁（x）=f（x）=a＜0，f₂（x）=f[f₁（x）]=f（a）＜0，且n≥2时，f_n（x）＜0，问：是否还有其它区间，对于该区间的任意实数x，只要n≥2，都有f_n（x）＜0？

Answer

由函数f1（x）=f（x），f2（x）=f[f1（x）]，f3（x）=f[f2（x）]，…，fn（x）=f[fn-1（x）]…知若使fn（x）＜0等价于f[fn-1（x）]＜0，由f（x）＜0，得x＜0或x＞1，则有fn-1（x）＜0或fn-1（x）＞1，依此类推，要使一切n∈N+，n≥2，都有fn（x）＜0，必须有f1（x）＜0或f1（x）＞1即f（x）＜0或f（x）＞1的解集即为所求．
【解析】
f（x）＜0，即5x2-5x＞0，故x＜0或x＞1．
∴fn（x）＜0⇔f[fn-1（x）]＜0⇔fn-1（x）＜0或fn-1（x）＞1．
要使一切n∈N+，n≥2，都有fn（x）＜0，必须使f1（x）＜0或f1（x）＞1，
∴f（x）＜0或f（x）＞1，即5x-5x2＜0或5x-5x2＞1．
解得x＜0或x＞1或＜x＜，
∴还有区间（，）和（1，+∞）
使得对于这些区间内任意实数x，只要n≥2，都有fn（x）＜0