Question

在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=2，AC=，一曲线E过C点，动点P在曲线E上运动，且保持|PA|+|PB|的值不变．
（1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程；
（2）直线l：y=x+t与曲线E交于M，N两点，求四边形MANB的面积的最大值．

Answer

（1）以AB为x轴，以AB中点为原点O建立直角坐标系．由|PA|+|PB|=|CA|+|CB|=+=2，知动点轨迹为椭圆，由此能求出其方程．
（2）将y=x+t代入方程+y2=1，得3x2+4tx+2t2-2=0．设M（x1，y1）、N（x2，y2），再由根的判别式和根与系数的关系进行求解．
【解析】
（1）以AB为x轴，以AB中点为原点O建立直角坐标系．
∵|PA|+|PB|=|CA|+|CB|=+=2，
∴动点轨迹为椭圆，且a=，c=1，从而b=1．
∴方程为+y2=1
（2）将y=x+t代入方程+y2=1，得3x2+4tx+2t2-2=0．
设M（x1，y1）、N（x2，y2），
∴△=16t2-4•3•（2t2-2）＞0①，
x1+x2=-②，
x1x2=③，
由①得t2＜3，
∴SMANB=|AB||y1-y2|=|y1-y2|=|x1-x2|=．