Question

如图，某建筑物的基本单元可近似地按以下方法构作：先在地平面α内作菱形ABCD，边长为1，∠BAD=60°，再在α的上侧，分别以△ABD与△CBD为底面安装上相同的正棱锥P-ABD与Q-CBD，∠APB=90°．
（1）求证：PQ⊥BD；
（2）设AC与BD交于E，求cos∠PEQ；
（3）求点P到平面QBD的距离．

Answer

（1）欲证PQ⊥BD，取BD中点E，连接PE、QE，只须证明BD⊥平面PQE，从而BD⊥PQ．
（2）先在三角形PEQ分别求出各边的长度，再利用余弦定理即可求得cos∠PEQ．
（3）由（1）知BD⊥平面PEQ．设点P到平面QBD的距离为h，利用三棱锥的等体积变换即可求得点P到平面QBD的距离．
【解析】
（1）由P-ABD，Q-CBD是相同正三棱锥，可知△PBD与△QBD是全等等腰△．取BD中点E，连接PE、QE，则BD⊥PE，BD⊥QE．
故BD⊥平面PQE，从而BD⊥PQ．
（2）作PM⊥平面α，垂足为M，作QN⊥平面α，垂足为N，则PM∥QN，M、N分别是正△ABD与正△BCD的中心，从而点A、M、E、N、C共线，PM与QN确定平面PACQ，且PMNQ为矩形．可得ME=NE=，
PE=QE=，PQ=MN=，∴cos∠PEQ=，
（3）由（1）知BD⊥平面PEQ．设点P到平面QBD的距离为h，则
∴．
∴．∴．