Question

已知a、b、m、n∈N₊，{a_n}是首项为a，公差为b的等差数列；{b_n}是首项为b，公比为a的等比数列，且满足a₁＜b₁＜a₂＜b₂＜a₃．
（1）求a的值；
（2）数列{1+a_m}与数列{b_n}的公共项，且公共项按原顺序排列后构成一个新数列{c_n}，求{c_n}的前n项之和S_n．

Answer

（1）根据已知，先利用等差数列{an}、等比数列{bn}的通项公式分别表示am，bn，然后代入a1＜b1＜a2＜b2＜a3．进行推理可得，从而可得a
（2）1+am=bn，即1+a+（m-1）b=b•an-1．⇒≥3，且b∈N+，从而2n-1-（m-1）=1⇒m=2n-1，代入可得cn及sn
【解析】
（1）∵am=a+（m-1）b，bn=b•an-1，
由已知a＜b＜a+b＜ab＜a+2b，
∴由a+b＜ab，a、b∈N+得．
∵，∴a≥2．
又得，而，∴b≥3．
再由ab＜a+2b，b≥3，得．
∴2≤a＜3
∴a=2．
（2）设1+am=bn，即1+a+（m-1）b=b•an-1．
∴3+（m-1）b=b•2n-1，．
∵b≥3，∴2n-1-（m-1）=1．∴2n-1=m．
∴cn=bn=3•2n-1．
故Sn=3（1+2++2n-1）=3（2n-1）．