Question

已知长方形的四个顶点A（0，0）、B（2，0）、C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点P沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P₁后，依次反射到CD、DA和AB上的点P₂、P₃和P₄（入射角等于反射角）．设P₄的坐标为（x₄，0）．若1＜x₄＜2，求tanθ的取值范围．

Answer

本题可以画出图形，由∠P1PB=θ，利用对称性得到角的关系∠P1P2C=∠P3P2D=∠AP4P3=θ，然后利用三角函数来解答，可以设P1B=x，得到这些角的三角函数值关于x的关系式，再由P4的坐标为（x4，0）以及1＜x4＜2，可解得tanθ的取值范围．
【解析】
设P1B=x，
∠P1PB=θ，则CP1=1-x，
∠P1P2C、∠P3P2D、∠AP4P3均为θ，∴tanθ==x．
又tanθ===x，
∴CP2==-1．
而tanθ====x，
∴DP3=x（3-）=3x-1．
又tanθ====x，
∴AP4==-3．
依题设1＜AP4＜2，即1＜-3＜2，
∴4＜＜5，＞＞．
∴＞tanθ＞．