Question

已知抛物线y=ax²-1上存在关于直线x+y=0成轴对称的两点，试求实数a的取值范围．

Answer

设而不求，可设出对称的两个点P，Q的坐标，利用两点关于直线x+y=0成轴对称，可以设直线PQ的方程为y=x+b，由于P、Q两点存在，所以方程组有两组不同的实数解，利用中点在直线上消去参数b，建立关于a的函数关系，求出变量a的范围．
【解析】
设抛物线上关于直线l对称的两相异点为P（x1，y1）、Q（x2，y2），线段PQ的中点为M（x，y），设
直线PQ的方程为y=x+b，由于P、Q两点存在，
所以方程组有两组不同的实数解，即得方程ax2-x-（1+b）=0．①
判别式△=1+4a（1+b）＞0．②
由①得x==，y=x+b=+b．
∵M∈l，∴0=x+y=++b，
即b=-，代入②解得a＞．
故实数a的取值范围（，+∞）