Question

已知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点．
（I）求过点O、F，并且与椭圆的左准线l相切的圆的方程；
（II）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，
线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围．

Answer

（1）欲求圆的方程，关键是确定圆的圆心和半径，因为点O、F都在x轴上，所以圆心必在线段OF的垂直平分线上即在平行于y轴的直线上，结合圆与左准线l相切，可求得半径，进而求得圆心坐标；
（2）欲求点G横坐标的取值范围，从函数思想的角度考虑，先将其表示成某一变量的函数，后求函数的值域，这里取直线AB的斜率K为自变量，通过解方程组求得点G横坐标（用k表示），再求其取值范围．
【解析】
（I）∵a2=2，b2=1，
∴c=1，F（-1，0），l：x=-2．
∵圆过点O、F，
∴圆心M在直线上．
设，则圆半径．
由|OM|=r，得，
解得．
∴所求圆的方程为．

（II）设直线AB的方程为y=k（x+1）（k≠0），
代入，整理得（1+2k2）x2+4k2x+2k2-2=0．
∵直线AB过椭圆的左焦点F，∴方程有两个不等实根．
记A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点N（x，y），
则，，
∴AB的垂直平分线NG的方程为．
令y=0，得．
∵k≠0，∴，
∴点G横坐标的取值范围为．