Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且（n∈N^*），其中a₁=1．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设（k∈N^*）．
①证明：；
②求证：．

Answer

（Ⅰ）由题意可知（n+1）an=nan+1．若存在am=0（m＞1），可推出am-1=0，从而a1=0，与a1=1矛盾，所以an≠0．由（n+1）an=nan+1得，所以．
（Ⅱ）由4n2-1＜4n2，得（2n-1）（2n+1）＜4n2⇒（2n-1）2（2n+1）＜4n2（2n-1）．所以，从而能够证明
．
【解析】
（Ⅰ）当n≥2时，由，
得（n+1）an=nan+1．
若存在am=0（m＞1），由mam-1=（m-1）am，m≠0，得am-1=0，
从而有am-2=0，，a2=0，a1=0，与a1=1矛盾，所以an≠0．
从而由（n+1）an=nan+1得，
得．
（Ⅱ）证明：∵4n2-1＜4n2，
∴（2n-1）（2n+1）＜4n2⇒（2n-1）2（2n+1）＜4n2（2n-1）．
∴，
∴．