Question

已知在四边形ABCD中，AD=DC=2，AB=4，BC=2，DC⊥AD，沿AC折叠，使D在底面ABC上的射影P在△ABC边AB的高线上．
（1）设E为AC中点，求证：PE∥平面BCD；
（2）求BD与平面ABC的所成角的正切值．

Answer

（1） 易证AC⊥面DPE．PE⊥AC，再由AC2+BC2=AB2得BC⊥AC，在同一平面内垂直于同一直线的两直线平行得PE∥BC，再由线面平行的判断定理得证；
（2）由DP⊥面ABC和线面角的定义知：∠DPB为BD与面ABC所成的角再求解．
（1）证明：连接DE，
∵DA=DC=2，DC⊥AD
∴
又∵E是中点，∴DE⊥AC
又∵DP⊥面ABC，AC⊂面ABC
∴AC⊥DP，又DP∩DE=D
∴AC⊥面DPE．又EP⊂面DEP
∴PE⊥AC（1）
在△ABC中，∵
∴AC2+BC2=AB2
∴BC⊥AC（2）（4分）
又PE，AC，BC都在面ABC内，
由（1），（2）知PE∥BC
又∵PE⊄面BCD，BC⊂面BDC
∴PE∥面BDC（7分）

（2）连接PB，∵DP⊥面ABC
∴∠DPB为BD与面ABC所成的角．
在Rt△ABC中，∵，∴∠CAB=60°，∠ABC=30°
在Rt△ACH中，∠ACH=30°

在Rt△DPE中，
在△BCP中，∠BCP=60°，

在Rt△DBP中，
∴