Question

已知抛物线x²=6y的焦点为F，椭圆C：的离心率为，P是它们的一个交点，且|PF|=2．
（I）求椭圆C的方程；
（II）若直线y=kx+m（k≠0，m＞0）与椭圆C交于两点A、B，点D满足=0，直线FD的斜率为k₁，试证明．

Answer

（I）设P（xp，yp），根据抛物线定义能够求出，，由此可以求出椭圆C的方程．
（II）由题意知点D为线段AB的中点，设A（x1，y1），B（x2，y2），G（xD，yD），由题意知xD=-4kyD，，从而求出，进而得到，由此可知．
【解析】
（I）设P（xp，yp），根据抛物线定义，，
∴，（2分）
∵，即，
∴a2=4b2，椭圆是，（4分）
把代入，得a=2，b=1，椭圆C的方程为；（6分）
（II）：∵，
∴，点D为线段AB的中点（8分）
设A（x1，y1），B（x2，y2），G（xD，yD），
∵，
∴xD=-4kyD，
由yD=k•xD+m，得，（10分）
∵，
∴，
∴，
∴．（12分）