Question

已知函数，g（x）=x-mlnx．
（I）求函数f（x）的定义域和极值；
（II）求实数m的取值范围，使得函数g（x）在（2，3）上恰好有两个不同零点．

Answer

（I）利用函数的性质，使的分母不为0，对数有意义，利用导数求其极值．
（II）函数的零点就是方程的根，转化为f（x）的范围，确定f（2）、f（3）的大小，确定m的范围．
也可以在（2，3）内g（x）的极小值小于0，2和3的函数值大于0，求解即可．
【解析】
（I）f（x）的定义域是（0，1）∪（1，+∞），（2分），f'（x）=0，得x=e，（4分）
列表

当x=e时，函数f（x）取极小值f（e）=e，没有极大值；（6分）
（II）方法1：g（x）=0，即，
由于（I）知x∈[2，3]时，f（x）的最小值是e，（8分）
，，
∵，
∴f（2）＞f（3），（10分）
∴函数g（x）在（2，3）上恰好有两个不同零点时，实数m的取值范围是．（12分）
方法2：当m≤0时，g（x）=x-mlnx在（2，3）上是单调递增函数，函数g（x）在（2，3）上不可能有两个不同零点（8分）
当m＞0时，，g（x）在（0，m）上单调递减，在（m，+∞）上单调递增，
∴函数g（x）在（2，3）上不可能有两个不同零点，∴m∈（2，3）（10分）
由，
以及，
得实数m的取值范围是．（12分）