Question

已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E、F、G分别是PD、PC、BC的中点．
（I）求证：PA∥平面EFG；
（II）求平面EFG⊥平面PAD；
（III）若M是线段CD上一点，求三棱锥M-EFG的体积．

Answer

（I）取AD的中点H，连接EH，HG，可以证明E，F，G，H四点共面，再利用直线与平面平行的判定定理进行证明，即可解决问题；
（II）由题意AD⊥CD，PD⊥CD，可得CD⊥平面PAD，因为EF∥CD，证明EF⊥平面PAD，从而求解．
（III）CD∥EF，所以CD∥平面EFG，故CD上的点M到平面EFG的距离等于D到平面EFG的距离，利用公式VM-EFG=VD-EFG，进行求解．
【解析】
（I）证明：取AD的中点H，连接EH，HG．
∵H，G为AD，BC的中点，∴HG∥CD，
又EF∥CD．∴EF∥HG，
∴E，F，G，H四点共面，（2分）
又∵PA∥EH，EH⊂平面EFGH，PA⊄平面EFGH，
∴PA∥平面EFG．（4分）
（II）证明：∵AD⊥CD，PD⊥CD，
∴CD⊥平面PAD，（6分）
∵EF∥CD，∴EF⊥平面PAD，
∵EF⊂平面EFG，∴平面EFG⊥平面PAD；（8分）
（III）【解析】
∵CD∥EF，∴CD∥平面EFG，
故CD上的点M到平面EFG的距离
等于D到平面EFG的距离，∴VM-EFG=VD-EFG，（10分）
，平面EFGH⊥平面PBD于EH，
∴D到平面EFG的距离即三角形EHD的高，等于
∴．（12分）