Question

把正整数按上小下大、左小右大的原则排成如图所示的数表：
设a_ij（i、j∈N*）是位于这个数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数．数表中第i行共有2^i-1个正整数．
（1）若a_ij=2010，求i、j的值；
（2）记A_n=a₁₁+a₂₂+a₃₃+…+a_nn（n∈N^*），试比较A_n与n²+n的大小，并说明理由．

Answer

（1）由题目中图中数的排列规律，我们发现图中是把正整数按从小下大、左小右大的原则进行排列，且第i行的第一个数是2i-1，由此不难推断2010的位置．
（2）由（1）的结论，我们易对An=a11+a22+a33+…+ann（n∈N*），进行化简，并写出An与n2+n的前若干项，观察后，可根据归纳推理对An与n2+n的大小进行猜想，然后再用数学归纳法进行证明．
【解析】
（1）数表中前n行共有1+2+22++2n-1=2n-1个数，
即第i行的第一个数是2i-1，
∴aij=2i-1+j-1．
∵210＜2010＜211，aij=2010，
∴i=11．
令210+j-1=2010，
解得j=2010-210+1=987．

（2）∵An=a11+a22+a33+…+ann
=（1+2+22+…+2n-1）+[0+1+2+…+（n-1）]
=
∴．
当n=1时，，则An＜n2+n；
当n=2时，，则An＜n2+n；
当n=3时，，则An＜n2+n；
当n≥4时，猜想：．
下面用数学归纳法证明猜想正确．
①当n=4时，，
即成立；
②假设当n=k（k≥4）时，猜想成立，即，
则，
∵，
∴．
即当n=k+1时，猜想也正确．
由①、②得当n≥4时，成立．
当n≥4时，An＞n2+n．
综上所述，当n=1，2，3时，An＜n2+n；当n≥4时，An＞n2+n．