Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁，侧棱与底面垂直，P，Q分别是棱BB₁，CC₁上的点，AB⊥A₁Q，．
（1）求证：AC⊥A₁P；
（2）若M是△A₁PQ的重心，AM⊥面A₁PQ，求平面A₁PQ与面BCC₁B₁所成角（锐角）的余弦值．

Answer

（1）要证：AC⊥A1P，只需证AC⊥平面ABB1A1，要证AC⊥平面ABB1A1，由侧棱与底面垂直与AB⊥A1Q，可得AB⊥平面ACC1A1，可得AC⊥AB，即可得证．
（2）若M是△A1PQ的重心，AM⊥面A1PQ，求平面A1PQ与面BCC1B1所成角（锐角）的余弦值．只需求出两个平面的法向量，即可求得．
【解析】
（1）由已知AA1⊥AB，又AB⊥A1Q，∵AB⊥面AA1C1C，∴AB⊥AC，
又∵AC⊥AA1，∴AC⊥面AA1B1B，∴AC⊥A1P
（2）以AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，
设BP=z1，CQ=z2，则，A（0，0，0）
又M是△A1PQ的重心，可得M
∴，
又
∵，
∴得或（舍）
∴面A1PQ的法向量为，
又面BB1C1C的一个法向量是
∴面A1PQ与面BCC1B1夹角θ的余弦值．