Question

已知m∈C，关于x的一元二次方程x²-mx+4+3i=0恒有非零实根，且当x=a（a∈R，a≠0）时，|m|取得最小值，记z=5-|a|i，求复数•（1-bi）（b≥1）的辐角主值的取值范围．

Answer

首先写出m的表示形式，表示出模长，根据均值不等式得到m的最小值，做出其对应的a的值，写出复数的表示式，对于b的取值进行讨论，根据实部和虚部的范围，写出幅角的范围，表示出幅角．
【解析】
设x为非零实数，由已知可得：
|m|=|x+i|=≥=3．
当且仅当x=±时，|m|取最小值，|a|=．
∴z=5-5i，
∴（1-bi）=（5+5b）+（5-5b）i
①当b=1时，（1-bi）=10，辐角主值为0．
②当b＞1时，（1-bi）的实部大于0，虚部小于0．其辐角主值在（，2π）内，
此时，arg〔（1-bi）〕=2π+arctg（-1）
∵b＞1，
∴-1＜-1＜0，
∴-＜arctg（-1）＜0，
∴＜arg〔（1-bi）〕＜2π．