Question

已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，且倾斜角为60°的直线l过点和椭圆C的右焦点F．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若已知D（3，0），点M，N是椭圆C上不重合的两点，且，求实数λ的取值范围．

Answer

（Ⅰ）根据已知中的斜率和所过点的坐标可求得直线的方程，直线与x轴的焦点就是椭圆的右焦点，进而求得c，再利用离心率求得a．进而根据b=求得b，椭圆的标准方程可得．
（Ⅱ）根据可推断D，M，N三点共线，又依据D在x轴上，可分析MN与x轴重合时，根据向量的关系求得λ的值；当MN与x轴不重合时通过直线与椭圆方程联立消去x，利用韦达定理和的关系求得λ的范围．最后综合答案可得．
【解析】
（Ⅰ）由已知可得直线l：，
∴椭圆的右焦点（2，0）∴，
∴，，
椭圆C的方程为．
（Ⅱ）由知，D，M，N三点共线，
又点D在x轴上，∴直线MN有以下两种情况：
①当直线MN与x轴重合时，M，N为椭圆长轴的两个端点，
由，得，；
②当直线MN与x轴不重合时，
设MN：x=my+3，由消去x得，
（m2+3）y2+6my+3=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），
则①②，
由△=（6m）2-12（m2+3）＞0得
又，∴（x1-3，y1）=λ（x2-3，y2），
且λ＞0，λ≠1，∴y1=λy2③，
由①②③得===，∵
∴，解得，且λ≠1
综上所述，实数λ的取值范围是．