Question

已知函数在x=1处取得极值2．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间（m，2m+1）上是单调函数，求实数m的取值范围．

Answer

（I）由题意对函数求导，然后利用极值的概念列出a，b的方程，在求解即可
（II）由题意应该先求具体函数的单调区间，然后利用已知的条件及集合的思想，建立的m取值范围的不等式組求解即可
【解析】
求导，，
又f（x）在x=1处取得极值2，
所以即，
解得
所以．
（Ⅱ）因为，
又f（x）的定义域是R，所以由f'（x）＞0，
得-1＜x＜1．所以f（x）在[-1，1]上单调递增，
在（-∞，-1]和[1，+∞）上单调递减．
    （1） 当f（x）在区间（m，2m+1）上单调递增，
则解得-1＜m≤0；
    （2）当f（x）在区间（m，2m+1）上单调递减，
则或解得m≥1．
综上，实数m的取值范围是-1＜m≤0或m≥1．