Question

已知数列{a_n}的通项公式为a_n=n²-n-30．
（1）求数列的前三项，60是此数列的第几项．
（2）n为何值时，a_n=0，a_n＞0，a_n＜0．
（3）该数列前n项和S_n是否存在最值？说明理由．

Answer

（1）设an=60，则60=n2-n-30．解之得n=10或n=-9（舍去）．由此可知60是此数列的第10项．
（2）令n2-n-30=0，解得n=6或n=-5（舍去）．a6=0．令n2-n-30＞0，解得n＞6或n＜-5（舍去）．由此可知当0＜n＜6（n∈N*）时，an＜0．
（3）由an=n2-n-30=（n-）2-30，n∈N*，知{an}是递增数列，故Sn存在最小值S5=S6，Sn不存在最大值．
【解析】
（1）由an=n2-n-30，得
a1=1-1-30=-30，
a2=22-2-30=-28，
a3=32-3-30=-24．
设an=60，则60=n2-n-30．解之得n=10或n=-9（舍去）．
∴60是此数列的第10项．
（2）令n2-n-30=0，解得n=6或n=-5（舍去）．
∴a6=0．
令n2-n-30＞0，解得n＞6或n＜-5（舍去）．
∴当n＞6（n∈N*）时，an＞0．
令n2-n-30＜0，解得-5＜n＜6．
又n∈N*，∴0＜n＜6．
∴当0＜n＜6（n∈N*）时，an＜0．
（3）由an=n2-n-30=（n-）2-30，n∈N*，
知{an}是递增数列，
且a1＜a2＜＜a5＜a6=0＜a7＜a8＜a9＜，
故Sn存在最小值S5=S6，Sn不存在最大值．