Question

已知数列{a_n}中，a₁=0，a_n+1=a_n+2n-1（n∈N^*）．求数列{a_n}的通项公式a_n．

Answer

（法一）an+1-an=2n-1可得an-an-1=2n-3，…a2-a1=1利用累加法可求an．
（法二）an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1，由已知可得an-an-1=2n-3，代入可求．
【解析】
法一：（累加法）
∵an+1=an+2n-1，
∴an-an-1=2（n-1）-1，
an-1-an-2=2（n-2）-1，
a3-a2=2×2-1，
a2-a1=2×1-1．
以上各式左右两边分别相加得
an-a1=2[1+2+3+…+（n-1）]-（n-1）
=n（n-1）-（n-1）=（n-1）2．
∴an=（n-1）2．
法二：（迭代法）
∵an+1=an+2n-1，
∴an=an-an-1+an-1
=（an-an-1）+（an-1-an-2）+an-2
=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a3-a2）+（a2-a1）+a1
=2（n-1）-1+2（n-2）-1++2×2-1+2×1-1+0
=（n-1）2．