Question

已知a、b、c是成等比数列的三个正数，且公比不等于1，试比较a+c与2b，a²+c²与2b²、a³+c³与2b³，…的大小，由此得出什么一般性结论？并证明之．

Answer

先根据等比中项的性质推断b2=ac，进而根据均值不等式可推断出a+c≥2=2b，进而q≠1推断出等号不成立，进而可推断出a+c＞2b，同理可推断出a2+c2＞2b2、进而推断出一般性结论an+cn＞2bn、根据a、b、c是成等比数列，判断出an、bn、cn是成等比数列，进而利用等比中项的性质b2n=ancn，进而根据均值不等式求得an+cn≥2=2bn，q≠1推断出等号不成立，进而原式得证．
【解析】
∵a、b、c是成等比数列的三个正数
∴b2=ac
∵a+c≥2=2b，
∵q≠1，∴a≠c
∴a+c＞2b
∵a、b、c是成等比数列的三个正数
∴a2、b2、c2是成等比数列
同理可知a2+c2＞2b2、
推断出一般性结论an+cn＞2bn、
证明：∵a、b、c是成等比数列，
∴an、bn、cn是成等比数列
∴b2n=ancn，
∵an+cn≥2=2bn，
∵a≠c，∴an≠cn
∴an+cn＞2bn，
原式得证．