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高中数学试题
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例4．已知数列{an}中，a1=3，对于nN，以an，an+1为系数的一元二次方...
例4．已知数列{a
n
}中，a
1
=3，对于nN，以a
n
，a
n+1
为系数的一元二次方程a
n
x
2
-2 a
n+1
x+1=0
都有根α、β且满足（α-1）（β-1）=2．
（1）求证数列
是等比数列．
（2）求数列{a
n
}的通项公式．
（1）根据韦达定理可知α+β=，αβ=，代入（α-1）（β-1）=2中整理得an-=-2（an+1-），进而可判定数列是等比数列． （2）由（1）可求得数列的首项和公比，可求得数列的通项公式，进而求得an． 【解析】 （1）证明：依题意可知α+β=，αβ= ∴（α-1）（β-1）=αβ-（α+β）+1=-+1=2 整理得an-=-2（an+1-），a1-= ∴数列是以为首项，-为公比的等比数列． （2）由（1）知an-=×（-）n-1， ∴an=×（-）n-1+．
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考点分析：
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例3：已知数列{a
n
}的前n项和为S
n
，对于任意的自然数n，均有
a
n
成立，试证明数列{a
n
}为等差数列．
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若数列{a
n
}的前n项之和为S
n
，且满足lg （S
n
+1）=n，求证：数列{a
n
}是等比数列．
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例1．已知等差数列{a
n
}的第p项为r，第q项为S，（P≠q，r≠s）；等差数列{b
n
}的第r项为p，第s项为q，试问这两个数列的公差有何关系？证明你的结论．
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已知数列{a
n
}满足a
1
=1，a
n
=3
n-1
+a
n-1
（n≥2）．
（Ⅰ）求a
2
，a
3
；
（Ⅱ）证明
．
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有四个数a
1
、a
2
、a
3
、a
4
，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，且a
1
+a
4
，a
2
+a
3
是方程x
2
-21x+108=0的两根，a
1
+a
4
＞a
2
+a
3
，求这四个数．
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试题属性
题型：解答题
难度：中等
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是等比数列．
an成立，试证明数列{an}为等差数列．
．