Question

（1）设x是正实数，求证：（x+1）（x²+1）（x³+1）≥8x³；
（2）若x∈R，不等式（x+1）（x²+1）（x³+1）≥8x³是否仍然成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请举出一个使它不成立的x的值．

Answer

（1）将所给的不等式分成三个式子，用基本不等式即a＞0，b＞0，a+b≥2（当且仅当a=b时等号成立）进行证明；
（2）因为x∈R，所以分x＞0和x≤0两种情况进行证明，当x＞0时，由（1）知不等式成立；当x≤0时有8x3≤0，用立方和对不等式左边进行化简，利用配方求二次函数的最小值为0．
证明：（1）∵x是正实数，由均值不等式知x+1≥2，
1+x2≥2x，
x3+1≥2，
∴（x+1）（x2+1）（x3+1）≥2•2x•2=8x3（当且仅当x=1时等号成立）；
故（x+1）（x2+1）（x3+1）≥8x3；
（2）若x∈R，不等式（x+1）（x2+1）（x3+1）≥8x3仍然成立，
当x＞0时，由（1）知不等式成立；
当x≤0时，8x3≤0，
∵（x3+1）=（x+1）（x2-x+1）
∴（x+1）（x2+1）（x3+1）=（x+1）2（x2+1）（x2-x+1）
=（x+1）2（x2+1）[（x-）2+]≥0，
综上可知，此时不等式仍然成立．