Question

已知函数f（x）=log_a（a＞0，b＞0，a≠1）．
（1）求f（x）的定义域；（2）讨论f（x）的奇偶性；
（3）讨论f（x）的单调性．

Answer

（1）真数要大于0；（2）用奇偶性定义讨论；（3）先转化函数再用单调性定义讨论．
【解析】
（1）使f（x）有意义，则＞0，
∵b＞0，∴x＞b或x＜-b，
∴f（x）的定义域为{x|x＞b或x＜-b}．
（2）由（1）知f（x）的定义域关于原点对称，
∵f（-x）=loga=loga=loga-1=-loga=-f（x）．
∴f（x）为奇函数．
（3）设u===1+，
设x1＞x2，则u1-u2=1+-=，
当x1＞x2＞b时，＜0，即u1＜u2，
此时，u为减函数，同理-b＞x1＞x2时，u也为减函数．
∴当a＞1时，f（x）=loga在（-∞，-b）上为减函数，在（b，+∞）上也为减函数．
当0＜a＜1时，
f（x）=loga在（-∞，-b）上为增函数，在（b，+∞）上也为增函数．