Question

已知a∈R，函数．
（Ⅰ）如果函数g（x）=f′（x）是偶函数，求f（x）的极大值和极小值；
（Ⅱ）如果函数f（x）是（-∞，+∞）上的单调函数，求a的取值范围．

Answer

（Ⅰ）据次数为奇数的系数为0，时函数为偶函数求出a；求出导函数的根，判断根左右两边导函数的正负号，据极值的定义求出极值．
（Ⅱ）f（x）的导函数为二次函数，据函数单调性已知对应的导函数大于等于0恒成立，判别式小于等于0求出a的范围．
【解析】
．
（Ⅰ）∵f'（x）是偶函数，
∴a=-1．
此时，，
令f'（x）=0，解得：．
列表如下：
可知：f（x）的极大值为，f（x）的极小值为．

（Ⅱ）∵，
令，
解得：0≤a≤2．
这时f'（x）≥0恒成立，
∴函数y=f（x）在（-∞，+∞）上为单调递增函数．
综上，a的取值范围是{a|0≤a≤2}．