Question

直线x+y=n（n∈N⁺）与x轴y轴所围成区域内部（不包括边界）的整点个数为a_n，所围成区域内部（包括边界）的整点个数为b_n，（整点就是横坐标，纵坐标都为整数的点）
（Ⅰ）求a₃和b₃的值；
（Ⅱ）求a_n及b_n的表达式；
（Ⅲ）对a_n个整点用红黄蓝白四色之一着色，其方法总数为A_n，对b_n个整点用红黄两色之一着色，其方法总数为B_n，试比较A_n与B_n的大小

Answer

（Ⅰ）欲求a3和b3的值，只需令n=3时，找出满足条件的点，即可得到．
（Ⅱ）通过探讨各直线上的点和区域内部的点的个数，即可求得an及bn的表达式；
（Ⅲ）由（Ⅱ）的结论求出An，Bn，利用作商法比较大小．
【解析】
（Ⅰ）n=3时，直线x=0上有（0，0）（0，1）（0，2）（0，3）4个点，直线x=1上有（1，0）（1，1）（1，2）3个点，
直线x=2上有（2，0）（2，1）2个点，直线x=3上有（3，0）1个点，所以a3=1，b3=4+3+2+1=10
（Ⅱ）n=1时，b1=3，a1=0
n=2时，b1=6，a2=0
当n≥3时，bn=（n+1）+n+（n-1）+…+2+1=
an=bn-3（n+1）+3=
当n=1，2时也满足
所以an=，bn=（n∈N*）
（Ⅲ）对于an个整点中的每一个点都有4种着色方法，故An=
对于bn个整点中的每一个点都有2种着色方法，故Bn=
∴===
当n=1，2，3，4，5，6，7，8时An＜Bn
当n≥9且n∈N*时，An＞Bn