Question

设x，y∈R，，为直角坐标平面内x轴y轴正方向上的单位向量，若=x+（y+2），=x+（y-2），且||+||=8
（Ⅰ）求动点M（x，y）的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设曲线C上两点AB，满足（1）直线AB过点（0，3），（2）若=+，则OAPB为矩形，试求AB方程．

Answer

（Ⅰ）先令M（x，y），F1（0，-2），F2（0，2），把||+||转化为||+||，再利用||+||=8即可知道动点M（x，y）的满足椭圆定义，进而求出轨迹C的方程；
（Ⅱ）先把直线方程和椭圆方程联立，求出关于点A和点B的坐标的方程①，在利用OAPB为矩形转化为OA⊥OB既为•=0．把①式代入就可求直线AB的方程．
【解析】
（Ⅰ）令M（x，y），F1（0，-2），F2（0，2）
则=，=
即||+||=||+||
即||+||=8
又∵||=4=2C
∴c=2，a=4，b2=12（3分）
所求轨迹方程为+=1（6分）
（Ⅱ）由条件（2）可知OAB不共线，故直线AB的斜率存在
设AB方程为y=kx+3，A（x1，y1），B（x2，y2）
则⇒（3k2+4）x2+18kx-21=0（8分）
x1+x2=-，x1•x2=-
y1•y2=（kx1+3）•（kx2+3）=k2x1•x2+3k（x1+x2）+9=
∵OAPB为矩形，∴OA⊥OB⇒•=0（10分）
∴x1•x2+y1•y2=0得k=±
所求直线方程为y=±x+3（12分）